LAJES PLANAS PROTENDIDAS

Autor: Eng. Manfred Theodor Schmid

Já há muitos anos a protensão do concreto vem evidenciando vantagens técnicas e econômicas no campo das pontes e dos reservatórios. Nos últimos anos, graças a um número apreciável de experiências feitas pelo mundo afora, as características do concreto protendido vêm sendo aproveitadas também em edifícios e particularmente em lajes.

Assim, por exemplo:

- As deformações são menores do que no concreto armado e na estrutura metálica equivalente.

- O emprego de aços de alta resistência conduz a estruturas mais econômicas.

- Na laje protendida as deformações oriundas do peso próprio podem ser completamente eliminadas.

- Como a laje protendida trabalha com tensões relativamente baixas, é possível uma retirada antecipada do escoramento e das formas.

- Há um melhor comportamento da estrutura com relação às fissuras.

- A ausência de vigas oferece vantagens evidentes para a execução da obra quanto à economia, tanto de material como de tempo.

- Vãos maiores e grande esbeltez diminuem o peso próprio, a carga sobre os pilares e fundações e a altura total do edifício, permitindo por vezes o acréscimo de um pavimento.

- A laje plana lisa protendida oferece maior resitência ao puncionamento.

No presente trabalho mensionam-se as principais conclusões a que se chegou com relação à laje plana protendida, indicando-se as verificações importantes a serem feitas no dimensionamento, bem como algumas precauções que devem ser tomadas durante a contrução. Finalmente o grande número de obras executadas tanto no Brasil como principalmente no exterior testemunham a veracidade das razões em favor desta moderna e interessante solução.

 

A laje plana protendida viveu o seu grande desenvolvimento inicial nos Estados Unidos e na Austrália durante a década de 50, muitas vezes em associação com o processo denominado "Lift Slab".

Do interesse comum que uniu os esforços de estudiosos, projetistas e de firmas de protensão, resultam as Normas e Recomendações agora já disponíveis sobre o assunto. Nos Estados Unidos construiram-se até a presente data mais de 50 milhões de metros quadrados de laje protendida, fato que, somado à experiência de outros países, inclusive o Brasil, permite considerar-se como encerrada a fase de incertezas desta nova e bela tecnologia.

Na Europa o interesse foi despertado na década 70, destacando-se a Inglaterra, os Países Baixos e a Suiça e mais recentemente a Alemanha e da Dinamarca. O sistema construtivo é pois hoje em dia reconhecido e divulgado tanto nos Estados Unidos e Austrália como na Europa e em outras partes do mundo, possuindo, como já mencionado, Normas específicas e, de modo mais amplo, as Recomendações da FIP (4).

a) A técnica de cálculo introduzida por T. Y. Lin sob a denominação "Load Balancing Method", publicada no ACI Journal, Proceedings em 1963.

b) A racionalização das formas e evidente facilidade de execução em comparação com a solução convencional de vigas e lajes.

c) A diminuição do tempo de construção em decorrência da racionalização natural que vem ocorrendo nos métodos de execução da laje.

d) O respaldo oferecido por grande número de pesquisas e ensaios sobre o assunto.

e) As vantagens econômicas que o sistema oferece.

f) A esbeltez, simplicidade e elegância da estrutura, feita com lajes planas, lisas e protendidas, e sua notável linearidade.

• Protensão com aderência

A aderência responde por uma melhor distribuição das fissuras, maior segurança à ruína (ELU) e por uma maior segurança da estrutura na parte e no todo, diante de situações extremas como incêndios e explosões. Utilizam-se bainhas corrugadas, de preferência chatas, sendo os cabos iinjetados com nata de cimento.

• Protensão sem aderência

De início empregam-se nos Estados Unidos cabos engraxados e envolvidos em papel, possibilitando-se assim a movimentação do cabo durante o seu alongamento por ocasião da protensão. Hoje em dia utiliza-se uma proteção anti-corrosiva formada por tubo de polietileno ou polipropileno e uma proteção secundária constituída por graxa especial que envolve a cordoalha. O cabo vai assim pronto para a obra.

Esta solução oferece uma série de vantagens:

- maior rapidez na colocação das cordoalhas;

- maior excentricidade do elemento tensor;

- menos perdas por atrito;

- ausência da operação de injeção;

- maior economia;

- o aço de protensão fica protegido contra a corrosão já antes de ser instalado na forma.

A operação do cabo com ou sem aderência é assunto ainda polêmico. A NBR 7197 não proíbe mas praticamente inviabiliza a protensão sem aderência porque exige para ela condição de protensão completa (4.3). Ora, a grande conquista da nossa época neste campo é justamente a protensão parcial, tão valiosa como apreciada pelos projetistas e que, diríamos, é uma otimização do concreto armado.

 

Em atenção à valiosa bibliografia estrangeira o assunto, procuramos situar o presente trabalho dentro das seguintes Definições:

Laje Plana = "flat slab" (do inglês) = "flachdecke" (do alemão). Aqui a laje é plana mas não necessariamente lisa, isto é, podem, existir vigas, capitéis e nervuras.

Laje Plana Lisa = "flat plate" = "flachplatte". A laje é plana e realmente lisa, não se admitindo capitéis ("column heads"), nem tampouco engrossamentos da laje ("drops at collumn heads").

FUNDAMENTOS PARA O CÁLCULO ESTRUTURAL

De acordo com as Normas, os critérios de segurança tomam por base os Estados Limites, sendo evidentemente desejável que a estrutura seja a mais econômica possível, tanto na construção como na sua manutenção.

A solicitação correspondente ao Estado Limite Último (ELU) pode estar limitada pelo escoamento do aço ou esmagamento do concreto, instabilidade da estrutura ou fadiga do material. No caso das lajes verifica-se o ELU à flexão e ao puncionamento, servindo o Estado Limite de Utilização ou de Serviço (ELS) para o controle de fissuras, deformações, vibrações e para a verificação da resistência ao fogo e a proteção contra a corrosão.

Para as lajes protendidas valem as Normas usuais do Concreto Protendido, com destaque dos Capítulos dedicados às lajes. Assim, entre outras, podemos citar:

1. NBR 7197, 9,5 – Lajes Protendidas.

2. DIN 4227 – Apêndice A.

3. ACI-ASCE Committee 423.

4. FIP Recomendações para o projeto de lajes planas em concreto protendido, com e sem aderência (maio, 1980)

Qualquer que seja o processo escolhido, o cálculo das lajes planas protendidas costuma se desenvolver na seguinte sequência:

1- Distribuição dos pilares e escolha da laje em função do vão, do cobrimento e da resistência ao fogo desejados.

2- Fixação das características dos materiais a serem empregados.

3- Determinação das cargas.

4- Cálculo dos esforços solicitantes.

5- Escolha da protensão, isto é, da carga a ser "balanceada", e arranjo dos cabos.

6- Cálculo dos momentos secundários devidos à protensão.

7- Verificação do ELU para a flexão com o dimensionamento da armadura passiva necessária.

8- Verificação do ELU para o puncionamento.

9- Verificação dos Estados Limites de Utilização (limitação das fissuras, deformações lineares, vibração, resistência ao fogo)

10- Detalhamento da armadura passiva mínima.

Da espessura da laje depende o seu comportamento com relação ao ELU de flexão e puncionamento. Na escolha dessa espessura pode-se partir dos seguintes valores práticos:

L/h < = 48 para lajes de cobertura;

L/h < = 40 para lajes de piso com p < 3 kN/m2.

Pela NBR7197/89, a espessura das lajes protendidas sem vigas não deve ser inferior a 16 cm e para p > = 3 kN/m2 somente é permitida esbeltez superior a 40 mediante comprovação da segurança em relação aos Estados Limites de Utilização, de Deformação e Vibrações excessivas.

O cobrimento de no mínimo 3 cm deve proteger o aço contra a corrosão e garantir uma certa resistência ao fogo. Casos especiais requerem cobrimentos especiais.

É lícito considerar-se como cobrimento também a nata de injeção no cabo.

• Considerações gerais

Para lajes protendidas somente numa direção e apoiadas em linhas de apoio, o dimensionamento é feito para faixas de largura unitária como se fossem vigas chatas protendidas utilizando-se o Método das Cargas Balanceadas adiante comentado.

Para lajes protendidas em duas direções, o dimensionamento à flexão pode ser feito como para as lajes em concreto armado, pela Teoria da Elasticidade ou Plasticidade. No presente trabalho só daremos indicações relativas ao cálculo baseado na Teoria Elástica.

O dimensionamento parte do Método das Cargas Balanceadas, que considera as componentes transversais da protensão como forças agindo em sentido contrário ao das cargas de laje. A protensão será tomada com intensidade tal que suas componentes transversais equilibrem a carga permanente e uma parte da carga acidental (a critério do projetista), não existindo praticamente até aqui nem tensões nem deformações provenientes da flexão da laje.

Para que a protensão equilibre a carga permanente a ser mobilizada, devemos ter as seguintes relações:

As relações acima só podem ser aplicadas para vãos aproximadamente iguais. Caso contrário é preciso verificar a influência do vão maior ou do balanço sobre os vãos adjacentes.

A força de protensão é calculada para faixas de 1.0 m de largura e, como em lajes contínuas os cabos de uma direção descarregam (nas faixas) sobre os cabos da outra direção, deve-se considerar as faixas de ambas as direções com o carregamento total.

• Perdas da força de protensão

Perdas imediatas devidas à cravação das ancoragens são calculadas como de costume no concreto protendido. As perdas devidas ao atrito podem ser calculadas pela expressão

P_x = P_l ^{e-(µE + kx)}
(NBR 7197,8.5.1.2)

adotando-se para as bainhas chatas os valores µ = 0,20 e k = 0,003/m.

As perdas lentas, como retração, deformação lenta e relaxação, podem ser calculadas, como de hábito no Concreto Protendido, somando um total aproximado de 10-12% da tensão inicial no aço. É bom lembrar que, se por um lado é pequena a deformação por ser baixa a compressão na laje (1,0 a 2,5 N/mm2) por outro lado a protensão inicial dada logo nos primeiros dias acentua a deformação correspondente do concreto.

• Arranjo dos cabos

O arranjo dos cabos em planta pode ser feito de diversas maneiras. Segundo a FIP (4) a resistência última de uma laje depende acima de tudo da quantidade total de cabos e de armadura passiva aderente em cada direção. Todavia estudos e ensaios feitos provam que os cabos situados nas faixas dos pilares tem maior influência na capacidade de carga da laje do que os demais. Com base nisso convém então que pelo menos 50% dos cabos estejam nas faixas dos pilares sendo os demais uniformemente distribuídos nas faixas restantes. (Fig. 10)

Como regra geral o espaçamento máximo dos cabos ou de agrupamentos de cabos deveria ser de até 6 vezes a altura da laje. Existindo porém uma armadura passiva adequada também para o controle da fissuração, os cabos podem ser executada (protensão parcial), foi executada e vem sendo aplicada com sucesso na Suíça desde a década 70 (8). Como colaboração brasileira e de custo ainda mais baixo, podemos citar a laje mista parcialmente protendida (Fig. 6) da qual foi executado e testado até a ruína um modelo em escala natural no Laboratório Pesado de Engenharia Civil (LAPEC) da Universidade Federal do Paraná (14).

O exemplo apresentado no final deste trabalho compara as várias soluções acima citadas com a solução convencional em concreto armado.

O cálculo dos esforços solicitantes que provêm da carga restante, ou seja, da carga não balanceada, pode ser feito considerando-se laje e seus pilares formando pórticos nos quais se levam em conta também as forças horizontais (vento p. e.). É o Método do Pórtico Equivalente indicado no ACI 318 e recomendado nas Normas Canadenses e Britânicas.

No caso das forças horizontais costuma se tomar no pórtico a colaboração de 1/3 a 1/2 da largura de laje pertinente.

Obtidas as tensões respectivas, o dimensionamento pode ser feito com armadura frouxa.

Outra possibilidade para a carga restante não balanceada é a verificação do ELU para a flexão e, com ele, o dimensionamento da armadura passiva necessária, eventualmente a armadura passiva mínima. Neste caso a diretriz será dada pelo ELS de fissuração, como adiante será exposto. 

 

• Distribuição dos momentos e das cargas

- As Normas Alemãs DIN 1045 e 4227 indicam para a distribuição dos momentos decorrentes da carga uniformemente distribuída, o esquema abaixo representado: 

 Sendo: Ms, Mf momentos (pela Teoria da Elasticidade) numa viga de vão Iy, com carregamento (g + q) Ix. g + q é a carga uniformemente distribuída sobre a laje.

- Momentos maiores do que os do carregamento total (Mg+q), isto é, os provenientes das combinações mais desfavoráveis da carga acidental, podem ser obtidos pelo método abaixo indicado, sugerido pelo eng. Suiço H. Duddeck, segundo o qual, uma vez carregadas as lajes todas com a carga máxima, retira-se a sobrecarga de parte das áreas de influência (F2) que colaboram para a diminuição de Mq. Assim:

Entenda-se por máx. M e min. M os valores absolutos dos momentos. Assim o máx M sobre os apoios será negativo, nos vãos, porém, positivo.

De maneira análoga se obtém os momentos mínimos diminuindo convencionalmente de Mg. Quando a sobrecarga "q" deverá atuar então apenas nas áreas F2. Assim:

As áreas F2 são as seguintes: 

- Exemplo de Aplicação: Consideremos um vão central na laje abaixo esquematizada, para determinação dos esforços solicitantes.

p.próprio g = 0,20x25 = 5,0 kN/m2

s.carga q = = 5,0 kN/m2

carga total g + q = 10,0 kNm2

Da s. carga q consideraremos

Q = 2,0 kN/m2 a serem tirados conforme Duddeck.

Max. Mom. Negativo (como viga contínua, pela Teoria Elástica).

M = 10,0 x 8,0²/12 = - 53,40 kNm/m

Máx. mom. Positivo (como viga cont.)

M = 10,0 x 8,0² /24 = 26,70 kNm/m 

Distribuição dos momentos conforme Fig. 11 (DIN 4227):

Mss = 1,75 (- 53,40) = - 93,50 kNm/m

Msg = 0,50 (- 53,40) = - 26,70 kNm/m

Mfg = 1,25 (+ 26,70) = - 33,40 kNm/m

Mff = 0,84 (+ 26,70) = 22,40 kNm/m

Para q = 2,0 kN/m2, teremos conforme Fig. 12:

D Mss=2,0x12x8²(-4x10­³)=-6,1 kNm/m

D Msg=2,0x0,6x8²(-40x10­³)=-3,1 kNm/m

D Mfg=2,0x8x8²(5x10­³)=+5,1 kNm/m

D Mff=2,0x6x8²(7x10­³)=+5,4 kNm/m

Momentos do ELU:

Mdff = 1,4 x 22,40 + 1,4 x 5,40 = 38,96 kNm/m

Mdss = 1,4 x 93,50 + 1,4 x 6,10 = 139,44 kNm/m

etc.

• Verificação do estado limite último de flexão

No Estádio llb o concreto encontra-se fissurado, estando ambos os materiais, aço e concreto, em regime plástico e valendo os Domínios 2 e 3 da NBR 6118. A verificação das seções transversais de concreto com armaduras ativa e passiva, tem por objetivo a determinação do momento último "Mud" do qual a seção é capaz para compará-lo ao momento característico "Mk" (proveniente da solicitação externa atuante) multiplicando pelo coeficiente de majoração das ações g f = 1,4. A segurança à única definida no Estado Limite Último estará assegurada quando Mud> = g f Mk.

 

desta expressão resulta o valor x (intrínseco em Accr) e portanto de x. Dada a validade da Hipótese de Bernouilli, podemos obter agora 

 

A fim de que a seção esteja nos Domínios 2 e 3 (NBR 6118,4.1.1), devem ser observados os seguintes limites: 

2‰ < = ecd < = 3,5 ‰ sendo o enquadramento verificado pelas expressões 

 

1. Ruína por deformação exces. do aço (Domínio 2b). 

 

(P.e. para o aço CP 190 RB: e eyd = 7,63 ‰) 

O enquadramento será verificado pela expressão 

 

Com Zs = ds – xrcc resultará como valor interno de projeto Mud: 

 

A segurança à ruína definida no ELU ficará assegurada quando existir a condição Mud > = g f Mk

Como mostra a figura anterior, o aço apresenta 2 alongamentos:

ep (0) – pré-alongamento, que conhecemos porque decorre da força de protensão.

epx = alongamento decorrente da flexão da peça até o ELU, depende de x que por sua vez decorre das condições de equilíbrio da seção.

A deformação total do aço no ELU valerá epd = e(0)p + epx e a ela corresponde a tensão fpyd, que de início nos é desconhecida porque não temos e px. Podemos arbitrar fpyd e, através das equações do equilíbrio S Fx = 0 e S M = 0 e por aproximações sucessivas, chegar ao valor real de fpyd. O diagrama abaixo fornece a relação entre fpyd e epd (conf. CEB – 70)

 

• Considerações gerais 

O puncionamento apresenta grande importância no caso das lajes planas, condicionando a escolha de vãos grandes. Trata-se de uma ruptura sem deformações prévias, ou seja, é uma ocorrência repentina que pode resultar de carga ou reação localização sobre pequena área da laje, denominada "área de carga".

As recomendações da FIP abaixo comentadas são válidas para os seguintes tipos de áreas de cargas, desde que não estejam na vizinhança de outras cargas concentradas:

- Área circular com diâmetro ø< = 3,5d, sendo d a altura útil da laje.

- Área retangular (bh) com perímetro u< = Ild e b/h < = 2

- Áreas quaisquer porém obedecendo por analogia às limitações anteriores.

O ELU é caracterizado pela formação de um cone de puncionamento truncado, cujas geratrizes são inclinadas de 30º a 35º com relação ao plano da laje.

• Seções críticas

Nas figuras abaixo, as linhas tracejadas indicam as seções críticas de puncionamento e as linhas pontilhadas indicam força cortante comum. 

 

• Verificação no ELU

Os métodos de cálculo indicados em Normas e Recomendações consideram a tensão tangencial no perímetro ou contorno crítico de punção (ud) em torno do pilar e a comparam com o valor último de uma tensão tangencial de cálculo.

Várias fórmulas foram deduzidas e têm sido utilizadas nos últimos anos. A NBR 7197 segue a NBR 6118, permitindo porém considerar o efeito favorável mas reduzido em 20%, das componentes verticais das forças de protensão, no contorno crítico de punção, no tempo infinito. Esta consideração favorável exige confiabilidade na correta colocação dos cabos. A solicitação de cálculo será então:

Sd = 1,4 Sgk + 1,4 Sqk – 0,8 Svp

 

Supõe-se que a carga produza tensão tangencial uniformemente distribuída na área de perímetro C, de valor

 

Se t u/2 < t d < t u, dever-se-á colocar uma armadura transversal de seção

As = 0,75 Sd/fyd com fyd < = 300 N/mm2.

Se d< = t u/2 não há necessidade dessa armadura transversal.

 

ACI, mais exigente, manda considerar 1,4 Sgk e 1,7 Sqk mas permite levar em conta o efeito das componentes verticais da protensão e 30% do efeito favorável da compressão do concreto provocada pela protensão no perímetro crítico. Digno de consulta também é o critério usado pela Sociedade Suíça de Engenheiros e Arquitetos (SIA).

• FISSURAÇÃO

Há vários métodos indicados nas Especificações para o cálculo e controle da fissuração:

- Limitação das tensões na armadura passiva para seção calculada no Estádio Ila, isto é, com Protensão Parcial (12)

- Limitação das tensões de tração no concreto para seção não fissurada, Estádio Ib(12).

- Determinação da armadura passiva mínima que assegure a distribuição adequada das fissuras.

- Verificação da fissuração com auxílio de fórmulas teóricas ou empíricas.

- Armadura mínima

Das Normas DIN 4227, SAI 162 e NBR 7197 tiramos os seguintes valores para a armadura passiva mínima a ser colocada nas lajes:

a) em lajes periféricas

Armadura passiva necessária r_s > = 0,15 – 0,50 r_p

Armadura mínima r _s > = 0,05%, sendo r _p a taxa da armadura de protensão.

b) em lajes internas

Lajes internas em geral não necessitam de armadura frouxa, ficando a distribuição conveniente das fissuras asseguradas pelos efeitos da protensão e pelo efeito de membrana. Não se trata aqui da armadura passiva necessária para verificar o ELU mencionada em 2.4.3

 c) na região dos apoios

Segundo a Norma DIN 4227, a região do pilar, de largura bcd = bc + 3ds, deve ser armada com pelo menos 0,3% de armadura frouxa e o restante da faixa do pilar (0,41) deve receber uma armadura de pelo menos 0,15% . O comprimento dessa armadura é de 0,41. 

 

É oportuno lembrar que independente da armadura acima mencionada existe ainda a armadura ao longo das bordas na zona de implantação dos esforços junto às ancoragens.

 

• Deformações

Conforme já mencionado, o critério de cálculo que considera a carga balanceada tem a vantagem de eliminar as deformações da laje sob carga permanente. Caso porém a laje venha a fissurar em conseqüência da carga em serviço, a perda de rigidez pode ser avaliada como se costuma fazê-lo para concreto armado.

As Normas estabelecem a uma deformabilidade máxima, limitando a esbeltez da laje.

• Vibrações

Devem ser verificadas para cargas dinâmicas.

• Resistência ao fogo

Segundo demonstram ensaios feitos, a resistência ao fogo de uma laje protendida, é equivalente à da laje em concreto armado, pois que, embora seja o aço de protensão mais vulnerável às altas temperaturas, também se encontra mais protegido no interior da bainha metálica injetada.

A verificação da resistência ao fogo deve ser feita de acordo com as Recomendações do CEB/FIP. Esta resistência é função do recobrimento, para o qual pode ser útil a indicação dada pela tabela abaixo.

Na tabela, a duração do fogo é dada em minutos e o cobrimento do aço de protensão em milímetros.

CONSIDERAÇÕES ECONÔMICAS

A opção pela laje protendida supõe que existam:

- viabilidade técnica;

- viabilidade econômica;

- conveniências arquitetônicas, funcionais e de execução.

A viabilidade econômica prende-se fundamentalmente ao parâmetro "vão". Havendo interesse no vão grande (7,0 a 12,0 m), a solução em laje plana será naturalmente competitiva, como o mostram o gráfico da Fig. 7 e o exemplo comparativo a seguir abordado.

Importante é não comparar metro quadrado com metro quadrado, mas sim o custo final onde se consideram também o menor tempo de execução, o melhor reaproveitamento das formas, a própria aparência final da estrutura e algumas vantagens adicionais que a laje lisa pode oferecer, em relação à laje cortada por vigas. A ausência das vigas p. e. facilita sensivelmente a instalação de dutos em projetos hospitalares e de dutos de ar condicionado em edificações convencionais.

Trata-se da laje de um edifício comercial, projetada em várias modalidades:

a) em concreto armado entrecortada por vigas;

b) em concreto protendido, plana lisa;

c) como laje mista parcialmente protendida;

d) em concreto armado, plana lisa.

O carregamento adotado para as 4 soluções:

Sobrecarga: p = 2,5 kN/m2

Acabam. + paredes: g´= 2,5 kN/m2

Total: q= 5,0 kN/m2

Materiais utilizados e sua quantidades:

Solução a) 

 

Solução b)

 

Solução c) 

 

Solução d)

Concreto: fck 25 Mpa: 278,80 m3; h (médio) = 24cm; Aço CA 50: 16,00 kg/m2

Fôrmas: 1454 m2; 1,250 m2/m2; 5,21 m2/m3

Para fins de comparação das 4 soluções entre si, consideremos para I kg de aço CA 50, dobrado e colocado nas fôrmas, o custo paramétrico igual a 1,0 (um). Em relação a este parâmetro, os demais materiais e respectivas mãos-de-obra terão os valores constantes do quadro abaixo.

Observações

1- O custo das Fôrmas das Soluções b, c, e d foi reduzido em 25% em virtude da mão-de-obra bastante facilitada, do maior índice de reaproveitamento e do menor tempo de execução de uma forma lisa.

2- Para os materiais Aço CA, Concreto e Fôrmas, tomou-se a média dos valores Pini em várias cidades brasileiras.

3- Não se levou em conta a redução de altura de 37 cm por pavimento em relação à Solução a, o que, no caso de um edifício alto, daria um pavimento adicional para cada 8 pavimentos, ou simplesmente significaria redução no custo das paredes, tubulações, fachadas e elevadores.

4- A Solução c será tanto viável quanto mais baixo for o custo do concreto celular.

BIBILIOGRAFIA

1- NBR 7197 – Projeto de estruturas de concreto protendido 1989.

2- DIN 4227 – Spannbeton – Richtlinien fur Bemessung und Ausfuhrung.

3- ACI-ASCE Committee 423.

4- FIP Recommendations for the design of flat slabs in post-tensioned concrete (using unbonded and bonded tendons) FIP 1980.

5- Vorgespannte Flachdecken. Berechnungshinweise. Losinger A. G. 1972. Publicação interna.

6- RITZ, P.; MATT, P.; TELLEBACH, Ch.; SCHLUB, P.; AEBERHARD, H. U.; Vorgespannte Decken. Losinger AG 1981. Publicação interna.

7- CARVALHO, R. G. Lajes protendidas – Instituto de Engenharia do Paraná, 1980.

8- WUTHRICH, W. Post tensioned concrete flat slabs in building design and construction. FIP 1982.

9- VASCONCELOS, A.C. Manual prático para a correta utilização dos aços em obediência às Normas atualizadas, 1980.

10- DUDDECK, H. Praktische Berechnung der Pilzdecke ohne Stutzenkopfverstarkung (Flachdecke). Beton-und Stahlbetonbau 3/1963.

11- SCHULER, W. Flat Slabs VSL – Notas não publicadas, 1981.

12- SCHMID, M. Concreto protendido. A protensão parcial do concreto. Diretório Acadêmico de Engenharia Civil UFPR, 1987.

13- SCHMID, M. Lajes cogumelo protendidas – Ibracon, 1984.

14- SCHMID, M. Lajes mistas parcialmente protendidas. UFPR, 1985.